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Résoudre graphiquement

Cours de maths · 2de · 45 min

Résoudre graphiquement

Résoudre graphiquement des équations et inéquations

Avance à ton rythme — petits morceaux, pas de pavés. Les questions et manipulations débloquent la section dans le parcours. Un rafraîchissement repart à zéro.

  1. Objectifs du cours

    1
    Trouver les solutions d'une équation du type f(x)=kf(x) = k.
    2
    Trouver les solutions d'une équation du type f(x)=g(x)f(x) = g(x).
    3
    Résoudre une inéquation du type f(x)<kf(x) < k.
    4
    Résoudre une inéquation du type f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x).

  2. Test de prérequis

    Quelques questions pour se situer. Un bilan s'affiche à la fin — sans bloquer la suite du cours.

    Un point A a pour coordonnées (4;−3)(4 ; -3). Quelle est son abscisse ?

    Repérage dans le plan

    Un point B a pour coordonnées (−2;5)(-2 ; 5). Quelle est son ordonnée ?

    Repérage dans le plan

    Comment écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des nombres xx strictement supérieurs à 11 et inférieurs ou égaux à 66 ?

    Intervalles

    Où lit-on l'image d'un nombre par une fonction sur un repère ?

    Notion de fonction

    Encore 4 activités pour valider cette section

  3. Intuition

    Imaginez la courbe de la fonction comme le profil d'une montagne.

  4. Équation f(x) = k

    Une courbe CfC_f représente la fonction ff.

    Méthode

    f(x)=kf(x) = k
    Résoudre graphiquement

    Préparation de la manipulation…

    Déplacez le curseur pour observer les intersections entre la courbe et la ligne horizontale.

    Encore 1 activité pour valider cette section

  5. Équation f(x) = g(x)

    Deux courbes CfC_f et CgC_g sont tracées sur le même repère.

    Méthode

    f(x)=g(x)f(x) = g(x)

  6. Inéquations

    La courbe CfC_f descend en dessous de l'axe horizontal (y=0y = 0) entre les abscisses −1-1 et 33.

    Méthode

    f(x)≤kf(x) \le k

    Attention

    Si l'inéquation est f(x)≤kf(x) \le k, on inclut les points d'intersection.
    Le Surligneur d'Inéquations

    Préparation de la manipulation…

    Résolution graphique d'inéquations
    La courbe CfC_f est située en dessous de la courbe CgC_g entre les abscisses 00 et 44.

    Méthode

    f(x)≤g(x)f(x) \le g(x)

    Encore 1 activité pour valider cette section

  7. Erreurs fréquentes

    Erreur fréquente

    Donner les coordonnées du point au lieu de l'abscisse.

    Erreur fréquente

    Confondre l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées pour lire la solution.

    Erreur fréquente

    Se tromper de sens pour les crochets d'un intervalle.

    Encore 3 activités pour valider cette section

  8. Exercice guidé

    Une fonction ff est définie sur [−4;5][-4 ; 5]. Sa courbe CfC_f part du point (−4;−2)(-4 ; -2), monte et coupe l'axe des abscisses en x=−2x = -2, atteint un sommet au point (0;3)(0 ; 3), redescend, coupe l'axe des abscisses en x=2x = 2, et s'arrête au point (5;−3)(5 ; -3).

    Question 1

    Quelles sont les solutions de l'équation f(x)=0f(x) = 0 ?

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Question 2

    Quelles sont les solutions de l'équation f(x)=3f(x) = 3 ?

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Question 3

    Résolvez l'inéquation f(x)≥0f(x) \ge 0.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Question 4

    Résolvez l'inéquation f(x)<0f(x) < 0.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Encore 4 activités pour valider cette section

  9. Test de sortie

    QCM — test de sortie

    La courbe CfC_f coupe la droite y=−2y = -2 aux abscisses 00 et 55. Donnez les solutions de l'équation f(x)=−2f(x) = -2.

    Équation f(x) = k

    QCM — test de sortie

    Les courbes CfC_f et CgC_g se croisent uniquement au point (3;7)(3 ; 7). Donnez la solution de l'équation f(x)=g(x)f(x) = g(x).

    Équation f(x) = g(x)

    QCM — test de sortie

    La fonction ff est définie sur [0;8][0 ; 8]. Sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses sur [0;5[[0 ; 5[ et en dessous sur ]5;8]]5 ; 8]. Elle coupe l'axe en x=5x = 5. Résolvez l'inéquation f(x)≥0f(x) \ge 0.

    Inéquations

    QCM — test de sortie

    En utilisant la fonction de la question précédente, résolvez f(x)<0f(x) < 0.

    Inéquations

    QCM — test de sortie

    Une droite d'équation y=xy = x (fonction gg) et une courbe CfC_f se coupent en x=−2x = -2 et x=2x = 2. Donnez les solutions de f(x)=xf(x) = x.

    Équation f(x) = g(x)

    QCM — test de sortie

    La courbe CfC_f ne descend jamais en dessous de la hauteur y=3y = 3. Elle atteint 33 uniquement pour x=1x = 1. Résolvez f(x)<3f(x) < 3.

    Inéquations

    QCM — test de sortie

    Avec la fonction de la question précédente, résolvez f(x)=3f(x) = 3.

    Équation f(x) = k

    QCM — test de sortie

    La courbe CfC_f est en dessous de la courbe CgC_g sur l'intervalle ]1;4[]1 ; 4[. Elles se croisent en x=1x = 1 et x=4x = 4. Résolvez f(x)≤g(x)f(x) \le g(x).

    Inéquations

    Encore 8 activités pour valider cette section

  10. Entraînement

    Exercice — réponse directe

    SimpleExercice 1
    La courbe CfC_f d'une fonction ff définie sur [−5;5][-5 ; 5] coupe la droite horizontale y=4y = 4 aux points d'abscisses −3-3 et 11. Elle ne la coupe nulle part ailleurs. Quelles sont les solutions de l'équation f(x)=4f(x) = 4 ?

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    SimpleExercice 1
    La courbe CfC_f et la courbe CgC_g se croisent exactement en deux points : A(−1;2)A(-1 ; 2) et B(4;−5)B(4 ; -5). Quelles sont les solutions de l'équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) ?

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    SimpleExercice 1
    Une fonction ff définie sur [−3;6][-3 ; 6] est strictement positive partout, sauf en x=2x = 2 où elle s'annule. Résolvez l'équation f(x)=0f(x) = 0.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    IntermédiaireExercice 1
    Avec la même fonction ff définie sur [−3;6][-3 ; 6], strictement positive partout sauf en x=2x = 2 où elle s'annule. Résolvez l'inéquation f(x)≤0f(x) \le 0.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    IntermédiaireExercice 1
    La courbe d'une fonction ff forme un creux. Elle est située strictement en dessous de la droite y=1y = 1 entre les abscisses −2-2 et 33. Pour x=−2x = -2 et x=3x = 3, f(x)=1f(x) = 1. Résolvez l'inéquation f(x)<1f(x) < 1.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    IntermédiaireExercice 1
    Avec la même fonction ff définie sur l'ensemble des réels, qui forme un creux strictement en dessous de y=1y = 1 entre −2-2 et 33. Résolvez l'inéquation f(x)≥1f(x) \ge 1.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    IntermédiaireExercice 1
    La courbe CfC_f est toujours strictement au-dessus de la courbe CgC_g sur l'intervalle [0;10][0 ; 10]. Résolvez l'équation f(x)=g(x)f(x) = g(x) sur cet intervalle.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

    Exercice — réponse directe

    IntermédiaireExercice 1
    Une courbe CfC_f définie sur [−5;5][-5 ; 5] coupe l'axe des abscisses en x=−1x = -1 et x=4x = 4. Entre −1-1 et 44, la courbe est au-dessus de l'axe. Ailleurs, elle est en dessous. Résolvez l'inéquation f(x)>0f(x) > 0.

    Choisis une forme (puis remplace les lettres)

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  11. Synthèse

    Idée essentielleFormule / propriété
    Intersection courbe / ligne horizontale. Solutions = points isolés.f(x)=kf(x) = k
    Intersection courbe / courbe. Solutions = points isolés.f(x)=g(x)f(x) = g(x)
    Courbe sous la ligne horizontale. Solutions = intervalles.f(x)<kf(x) < k
    Première courbe au-dessus ou sur la deuxième. Solutions = intervalles.f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x)
    Les solutions se lisent TOUJOURS sur l'axe des abscisses (l'axe horizontal).—